Question

（1）如图（1）四边形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（2，1），D（0，3），绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
（2）如图（2），圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，h1=

h

3

，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h₂，求h₂．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题

分析：（1）由题意知所得旋转体为圆台与圆锥的组合体，求得圆锥与圆台的高及底面半径，代入公式计算可得答案；
（2）根据圆锥的体积比为高之比的立方，求出

V水

V锥

的值，再利用：

V水

V锥

=(

h2

h

)3求得h₂．

解答： 解：（1）由题意知所得旋转体为圆台与圆锥的组合体，
V圆锥=

1

3

πr2h=

1

3

π×22×2=

8

3

π；
V圆台=

1

3

πh(r2+R2+Rr)=

1

3

π×1×(22+12+2×1)=

7

3

π．
∴V=V_圆锥+V_圆台=5π．
（2）根据圆锥的体积比为高之比的立方，
∴

VS-AB

VS-CD

=(

2 3 h

h

)3=

8

27

，
∴

V水

V锥

=

27-8

27

=

19

27

，
倒置后：

V水

V锥

=(

h2

h

)3=

19

27

，
∴h₂=

3 19

3

．

点评：（1）考查了圆锥与圆台的体积公式，熟练掌握公式是关键；
（2）考查了旋转体的体积与高的数量关系，根据倒置后水的体积不变，体积比=高之比的立方．