Question

已知点A（-1，1）和圆C：x²+y²-6x-8y+24=0，一束光线从点A出发，经过直线L：x-y-1=0反射后与圆相切，试求反射线所在直线方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：设反射线与圆相切的切点为B，求出点A关于x-y-1=0对称的点为A'的坐标，由题意可知反射线即为直线A'B．因此设直线A'B方程，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程并解出k的值，即可得到所求反射线所在的直线方程．

解答： 解：点A（-1，1）关于x-y-1=0对称的点为A'（a，b），
∴

b-1 a+1 =-1 a-1 2 - b+1 2 -1=0

，解得：

a=2 b=-2

，∴A′（2，2）．
设反射线与圆相切的切点为B，根据题意得反射线所在直线是A'B所在直线
设直线A'B方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0
圆C：x²+y²-6x-8y+24=0，的圆心（3，4），半径为r=1，
可得圆心（3，4）到直线的距离d=

|3k-4-2k+2|

k2+1

=1
解之得k=

3

4

，
由此可得直线A'B方程为

3

4

x-y-2×

3

4

+2=0即：3x-4y+2=0，
当直线的斜率不存在时，直线为：x=2，满足题意，
即为所求反射线所在直线方程3x-4y+2=0或x=2．

点评：本题求满足条件的直线与圆的方程．着重考查了圆的标准方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于基础题．