Question

【题目】已知函数的导函数为.

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数的极值为正数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由对任意恒成立，求出代入分离参数，将问题转化为，由二次函数的最值可得a的取值范围；

（2）由函数的极值为正数，则有正根，将问题转化为二次函数有正根问题，对a进行分类讨论，可得当时，方程有两个不等实根，且异号，设，，可得出是函数在上的唯一极值点且是极大值点，再利用函数与方程思想可得，又得实数的取值范围.

（1），

对任意恒成立，即.

.

，当时有最小值-1，

，.

（2）.

①当时，，在上递增，

此时无极值；

②当时，设方程，.

方程有两个不等实根，，

，，一正一负，

设，，结合函数的图象可知，

当时，；当时，，

在上递增，在上递减，是函数在上的唯一极值点且是极大值点.

.

令，易知在上递增，又，

时，，.

，

.

.