Question

f（x）=

1

3

x³-4x+4  
（1）求函数的极值
（2）求函数在区间（-3，4）上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）的导函数，解出导函数的零点，由零点对定义域分段，判断导函数在各区间段内的符号，从而得到原函数在各区间段内的单调性，得出极值点，把极值点的横坐标代入原函数解析式求极值；
（2）函数在区间（-3，4）上有一个极大值点和一个极小值点，而x=-3与x=4的函数值都大于该区间内的极小值，小于该区间内的极大值，所以，极小值即为最小值，极大值即为最大值．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x³-4x+4，得：f′（x）=x²-4．
由f′（x）=x²-4=0，得：x=-2，或x=2．
列表：

由表可知，函数f（x）的极大值为f（-2）=

1

3

×(-2)3-4×(-2)+4=

28

3

．
函数f（x）的极小值为f（2）=

1

3

×23-4×2+4=-

4

3

．
（2）因为f（-3）=

1

3

×(-3)3-4×(-3)+4=7．
f（4）=

1

3

×43-4×4+4=

28

3

．
又f（2）＜f（-3）＜f（-2），
f（2）＜f（4）≤f（-2）．
所以，函数f（x）在区间（-3，4）上的最大值为f(-2)=

28

3

．
最小值为f(2)=-

4

3

．

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，连续函数在定义域内某点的两侧的单调性相反，则该点即为函数的极值点，考查了导数在求函数最值时的应用，闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内则不一定．此题是中档题．