Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

（2-a）x²+（1-a）x（a≥0）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导函数，然后讨论a为0时，f（x）在R上单调递增，然后研究a＞0时求出导数等于0的值，然后根据f'（x）＞0，f'（x）＜0得到函数的单调区间；
（II）讨论a，使函数f（x）在[0，1]上单调递增，求出相应的a的取值范围．

解答：解：（I）f'（x）=x³+（2-a）x+1-a=（x+1）（x+1-a）
当a=0时，f'（x）=（x+1）²≥0恒成立
当且仅当x=-1时取“=”号，f（x）在R上单调递增．  …（2分）
当a＞0时，由f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=a-1且x₁＜x₂
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

f（x）在（-∞，-1）单调递增，在（-1，a-1）单调增减，在（a-1，+∞）单调递增
（II）当a=0时，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）≥f（0）=1恒成立． …（7分）
当a＞0时，由（I）可知
若0＜a≤1时，则f（x）在[0，1]上单调递增 …（9分）
若a＞1，则f（x）在[0，a-1]上单调递减，f（x）在[0，1]上不单调递增 …（11分）
综上，a的取值范围是[0，1]．   …（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及已知单调区间求参数的范围，同时考查了计算能力，属于中档题．