Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+

a-2

2

x2-2ax-3，g（a）=

1

6

a3+5a-7．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在[-2，0]上不单调，且x∈[-2，0]时，不等式f（x）＜g（a）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数大于0，可得函数f（x）的单调递增区间；
（2）利用f（x）在[-2，0]上不单调，确定0＜a＜2，x∈[-2，0]时，不等式f（x）＜g（a）恒成立，等价于f（-a）＜g（a），从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x-3
∴f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞2
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（2）求导函数，可得f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
∵f（x）在[-2，0]上不单调，
∴-2＜-a＜0
∴0＜a＜2
∵x∈[-2，0]时，不等式f（x）＜g（a）恒成立，
∴f（-a）＜g（a）
∴-

1

3

a3+

a-2

2

•a2+2a2-3＜

1

6

a3+5a-7
∴a²-5a+4＜0
∴1＜a＜4．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．