Question

【题目】设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2 ． 当x∈[2，4]时，则f（x）= ．

Answer 1

【答案】x2﹣6x+8
【解析】解：∵对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x）；

∴用x+2代替x，则f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），

即f（x+4）=f（x），

∴f（x）是以4为周期的周期函数；又∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2+a，

∴f（0）=a=0，∴f（x）=2x﹣x2；

当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[2（﹣x）﹣（﹣x）2]=2x+x2；

∴当 x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，

∴f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8；

又∵f（x）的周期是4，∴f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，

∴在x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；

所以答案是：x2﹣6x+8

【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．