Question

已知圆的半径为,圆心在直线上,且在轴的下方,轴被圆截得的弦长为.

  （Ⅰ）求圆的方程;

（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线,使被圆截得的弦，以为直径的圆过原点？若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解: （Ⅰ）设圆心为

由勾股定理可得（其中d是弦心距,MN是截得的弦长）,

即:.又a > 0,则a =1,圆心(1,-2).

圆的标准方程是:.    

（Ⅱ）方法一:利用圆中的勾股定理（半径,半弦长,弦心距）解决问题.

设以AB为直径的圆M的圆心为M（a,b）, 的斜率为1.在圆C中有.

由C(1,-2)得即b=-a-1.(*)  

以AB为直径的圆过原点.OM=AM=BM=

由得

把(*)式代入上式,得从而，

故

又（a,b）在直线:x-y+m=0上,故m=b-a，

∴直线的方程为或. 

方法二:利用韦达定理解决问题

的斜率为1,可设,交点A， 

圆C: 故

  ① 

韦达定理可得  （◣） 

以AB为直径的圆过原点.则，即 ： ，  

故，  把（◣）式代入得

，∴ 或

经检验:均能使①式中的判别式大于0成立,

所以或都是方程的解.

∴直线的方程为 或.