【题目】已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=,
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题(1)由a>0可知二次函数的图象是开口向上的抛物线,求出对称轴方程,根据函数在区间[0,3]上有最大值4和最小值1列式求解a,b的值;
(2)利用(1)中求出的函数解析式,把不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解转化为在x∈[﹣1,1]上有解,分离变量k后,构造辅助函数,由k小于等于函数
在x∈[﹣1,1]上的最大值求k的取值范围,然后利用换元法化为二次函数,利用二次函数求最值.
解:(1)函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0),
∵a>0,对称轴为x=1,所以g(x)在区间[0,3]上是先减后增,
又g(x)在区间[0,3]上有最大值4和最小值1.
故,解得;
(2)由(1)可得,
所以f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,可化为在x∈[﹣1,1]上有解.
即.
令,∵x∈[﹣1,1],故,
记,对称轴为:,
∵,h(t)单调递增,
故当t=2时,h(t)最大值为.
所以k的取值范围是.
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【题目】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则( )
A. 图象关于直线对称 B. 图象关于点中心对称
C. 在区间单调递增 D. 在区间上单调递减
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【题目】设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l: 与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ,求k的值.
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【题目】近日,某地普降暴雨,当地一大型提坝发生了渗水现象,当发现时已有的坝面渗水,经测算,坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为元,且渗水面积以每天的速度扩散.当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面,假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积,该部门需支出服装补贴费为每人元,劳务费及耗材费为每人每天元.若安排名人员参与抢修,需要天完成抢修工作.
写出关于的函数关系式;
应安排多少名人员参与抢修,才能使总损失最小.(总损失=因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用)
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【题目】过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来,以保证自己生活的稳定,考虑到通货膨胀的压力,如果我们把所有的钱都用来储蓄,这并不是一种很好的方式,随着金融业的发展,普通人能够使用的投资理财工具也多了起来,为了研究某种理财工具的使用情况,现对年龄段的人员进行了调查研究,将各年龄段人数分成5组:,,,,,并整理得到频率分布直方图:
(1)求图中的a值;
(2)采用分层抽样的方法,从第二组、第三组、第四组中共抽取8人,则三个组中,各抽取多少人;
(3)由频率分布直方图,求所有被调查人员的平均年龄.
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