Question

设函数f（x）=x²+x-l，g（x）=e^bx，其中P为自然对数的底．
（1）当b=-1时，求函数F（x）=f（x）•g（x）的极大、极小值；
（2）当b=-1时，求证：函数G（x）=f（x）+g（x）有且只有一个零点；
（3）若不等式g（x）≥ex对?x＞0恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当b=-1时，•F（x）=（x²+x-1）e^-x，求出函数的导数，画出表格，判断函数的单调性，求出函数的极值
（2）当b=-1时，G（x）=x2+x-l+e-x，当b=-1时，G（x）=x2+x-l+e-x，求出函数的导数，判断函数的单调性，判断函数的零点
（3）g（x）=e^bx≥ex，等价于bx≥ln（ex）=1+lnx对?x＞0恒成立，即b≥

1+lnx

x

对?x＞0恒成立，利用恒成立问题，求b的取值范围

解答：（1）解：当b=-1时，•F（x）=（x²+x-1）e^-x，
则F'（x）=（2x+1）e^-x+（x²+x-1）•（-e^-x）=-（x²-x-2）e^-x=-（x+1）（x-2）e^-x（2分）
令F'（x）=O，得x₁=-1，x₂=2．
当x变化时，F'（0）、F（x）的变化情况如下表：
（4分）
∴当x=-1时，F（x）_极小值=-e：当x=2时，F（x）_极大值=5e^-2（6分）
（2）证：当b=-1时，G（x）=x2+x-l+e-x，显然G（O）=O，当b=-1时，G（x）=x2+x-l+e-x．（7分）
∵G’（x）=2x+l-e^-x，则G”（x）=2+e^-x＞O，（8分）
∴G’（x）在R上是增函数，
∴当x＜0时，G'（x）＜G'（O）=O，G（x）单调递减，G（x）＞G（0）=0；
当x＞0时，G'（x）＞G'（0）=O，G（x）单调递增，G（x）＞G（0）=0．
故函数G（x）有且只有一个零点x=0．（注：或说明G（x）_min=G（0）=O）（l0分）
（3）解：g（x）=e^bx≥ex，等价于bx≥ln（ex）=1+lnx对?x＞0恒成立，即b≥

1+lnx

x

对?x＞0恒成立，
设h(x)=

1+lnx

x

(x＞0)，则b≥h（x）_max（l2分）
而h′(x)=

-1nx

x2

，令h'（x）=O，得x=1．
∵x∈（O，1）时，h'（x）＞0：当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜O，
∴h（x）_max=h（1）=l，
∴b≥l为所求．（14分）

点评：该题考查函数导数的求法，以及利用导数判断函数的单调性，切记要画图表，要会用最值求未知量的取值范围