Question

8．（1）已知f（x）为二次函数，且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）；
（2）已知3f（x）+2f（-x）=x+3，求f（x）

Answer 1

分析 （1）考虑待定系数法求f（x），设f（x）=ax²+bx+c，先求出c=2，然后根据f（x+1）-f（x）=x-1可建立关于a，b的方程，解出a，b，从而得出二次函数f（x）；
（2）将原式中的x换成-x，便可又得到一个关于f（x）和f（-x）的等式，联立原等式即可解出f（x）．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c；
∴f（0）=c=2，f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2ax+a+b=x-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$；
∴$a=\frac{1}{2}，b=-\frac{3}{2}$；
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2$
（2）根据条件，$\left\{\begin{array}{l}{3f（x）+2f（-x）=x+3}\\{3f（-x）+2f（x）=-x+3}\end{array}\right.$；
解得$f（x）=x+\frac{3}{5}$．

点评 考查二次函数的一般形式，待定系数法求函数解析式，以及利用解方程组的方法求函数解析式．