Question

18．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A 在曲线C上，∠F₁AF₂ 的平分线交x轴于点M
（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF₂|=6；
（II）若|AF₁|+|AF₂|=24，则△F₁AF₂的面积为54．

Answer 1

分析 （I）求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$，由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=6，进而可得所求；
（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（I）双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的a=3，b=3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=6，
则F₁（-6，0），F₂（6，0），
∠F₁AF₂ 的平分线交x轴于点M，
可得$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{2}M|}$=$\frac{|A{F}_{1}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
可得A在右支上，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a=6，
解得|AF₂|=6；
（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，
可得|AF₁|-|AF₂|=6，
且|AF₁|+|AF₂|=24，
解得|AF₁|=15，|AF₂|=9，
又|F₁F₂|=12，
由9²+12²=15²，
可得AF₂⊥F₁F₂，
则△F₁AF₂的面积为$\frac{1}{2}$×9×12=54．
故答案为：6，54．

点评 本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理以及三角形的面积公式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．