Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{2-x}$，判断函数的单调性并证明．

Answer 1

分析 化简函数f（x），根据反比例函数的单调性判断f（x）在区间（-∞，2）和（2，+∞）上是单调增函数；
再利用函数单调性的定义证明即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x+1}{2-x}$=$\frac{x-2+3}{2-x}$=-1+$\frac{3}{2-x}$=-$\frac{3}{x-2}$-1，
∴f（x）在区间（-∞，2）和（2，+∞）上都是单调增函数；
证明：任取x₁、x₂∈（-∞，2），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{3}{{x}_{1}-2}$-1）-（-$\frac{3}{{x}_{2}-2}$-1）
=$\frac{3}{{x}_{2}-2}$-$\frac{3}{{x}_{1}-2}$
=$\frac{3{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$；
∵x₁＜x₂＜2，
∴3（x₁-x₂）＜0，（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（-∞，2）上是单调增函数；
同理f（x）在区间（2，+∞）上也是单调增函数．

点评 本题考查了函数单调性的判断与证明问题，是基础题目．