Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{{e}^{x}}$（x∈R）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上是增函数，实数a的取值范围是（-∞，2e-e²]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为即a≤-x²+2x在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+2x-a}{{e}^{x}}$，
函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上是增函数，
即f′（x）≥0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
即a≤-x²+2x在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
令g（x）=-x²+2x，则g（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值是g（e）=2e-e²，
故a≤2e-e²，
故答案为：（-∞，2e-e²]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．