Question

12．给出以下四个命题：
①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B．则x=1，y=0；
②若函数f（x）的定义域为（-1，1），则函数f（2x+1）的定义域为（-1，0）；
③f（x）=$\frac{|x|}{x}$与g（x）=$[\begin{array}{l}{1（x≥0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}]$表示同一函数．
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2016
其中正确的命题有①②④（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 根据集合相等的定义及集合元素的互异性，可判断①；
根据抽象函数定义域的求法，可判断②；
根据同一函数的定义，可判断③；
根据已知得到$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=f（1）=2，进而可判断④

解答 解：①若集合A={x，y}，B={0，x²}，A=B．
则x≠0，
故y=0，x²=x，
解得：x=1，y=0；
故正确；
②若函数f（x）的定义域为（-1，1），
由2x+1∈（-1，1）得：x∈（-1，0），
即函数f（2x+1）的定义域为（-1，0）；
故正确；
③f（x）=$\frac{|x|}{x}$中x≠0，
故f（x）=$\frac{|x|}{x}$与g（x）=$[\begin{array}{l}{1（x≥0）}\\{-1（x＜0）}\end{array}]$不表示同一函数．
故错误
④若f（x+y）=f（x）f（y），则f（x+1）=f（x）f（1），
则$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=f（1）=2，
又∵f（1）=2，
∴$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2×1008=2016；
故正确．
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合相等的定义及集合元素的互异性，抽象函数定义域的求法，同一函数的定义，难度中档．