Question

20．已知函数f（x）=sin x+acos x的图象经过点（-$\frac{π}{3}$，0）．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=f（x）-2，求函数g（x）的单调递增区间，g（x）的最大值以及使得g（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 （1）把点（-$\frac{π}{3}$，0）代入f（x）中，即可求出a的值；
（2）化简g（x），根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数g（x）的单调递增区间以及g（x）的最大值和取得最大值时x的集合．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin x+acos x的图象经过点（-$\frac{π}{3}$，0），
∴f（-$\frac{π}{3}$）=sin（-$\frac{π}{3}$）+acos（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a=0，
解得a=$\sqrt{3}$；
（2）∵g（x）=f（x）-2=sinx+$\sqrt{3}$cosx-2=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-2，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z；
∴函数g（x）的单调递增区间是[-$\frac{5π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{6}$+2kπ]，k∈Z；
当sin（x+$\frac{π}{3}$）=1时，g（x）取得最大值是2×1-2=0；
令x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴使g（x）取得最大值的x的集合是$\left\{{x\left|{x=\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z}\right.}\right\}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化法的应用问题，是基础题目．