Question

11．已知函数f（x）=-x³+x²，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），使得f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，即可求解函数的极值．
（2）f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x化为a（lnx-x）≥2x-x²，通过y=lnx-x，判断函数是减函数，说明lnx-x＜0，得到$a≤\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，设$φ（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，求出导数，构造函数h（x）=x+2-2lnx，通过函数的导数求出函数的最小值，然后求解$φ（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$的最小值，推出结果．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+2x=0，$x=0或\frac{2}{3}$，导函数是二次函数开口向下，
f（x）在（-∞，0）函数是减函数，x∈（0，$\frac{2}{3}$）函数是增函数，x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）函数是减函数，
∴$f（x）_{极小}^{\;}=f（0）=0，f（x）_{极大}^{\;}=f（\frac{2}{3}）=\frac{4}{27}$．
（2）f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x化为a（lnx-x）≥2x-x²
又y=lnx-x，y′=$\frac{1}{x}-1$，x∈[1，+∞），y′＜0，函数是减函数，
lnx-x＜ln1-1＜0成立，
∴$a≤\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，
设$φ（x）=\frac{{{x^2}-2x}}{x-lnx}$，$φ'（x）=\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{{{{（x-lnx）}^2}}}$，
设h（x）=x+2-2lnx，$h'（x）=1-\frac{2}{x}$，
∵h（x）在（1，2）是减函数，x∈（2，+∞）时，函数是增函数，
∴$h（x）_{min}^{\;}=h（2）=4-2ln2＞0$，
∴φ'（x）≥0，∴φ（x）在[1，+∞）上是增函数，
$φ（x）_{min}^{\;}=φ（1）=-1$，
∴a≤-1

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．