试题分析:(1)先求导
,利用题中条件得到
,从而求出实数
的值;(2)解法一是构造新函数
,问题转化为
来处理,求出导数
的根
,对
与区间
的相对位置进行分类讨论,以确定函数
的单调性与最值,从而解决题中的问题;解法二是利用参数分离法将问题转化为
,从而将问题转化为
来处理,而将
视为点
与点
连线的斜率,然后利用图象确定
斜率的最小值,从而求解相应问题;(3)证法一是利用基本不等式证明
和
,再将三个同向不等式相加即可得到问题的证明;证法二是利用作差法结合基本不等式得到
进而得到问题的证明.
试题解析:(1)
,由曲线
在点
处的切线平行于
轴得
,
;
(2)解法一:当
时,
,函数
在
上是增函数,有
,------6分
当
时,
函数
在
上递增,在
上递减,
对
,
恒成立,只需
,即
;
当
时,函数
在
上递减,对
,
恒成立,只需
,
而
,不合题意,
综上得对
,
恒成立,
;
解法二:由
且
可得
,
由于
表示两点
、
的连线斜率,
由图象可知
在
单调递减,
故当
,
,
,即
;
(3)证法一:由
,
得
,
,
由
得
,①
又
,
,②
,
,
,
,③
由①、②、③得
;
即
;
证法二:由
、
是两个不相等的正数,
,
,
,又
,
,
,即