Question

【题目】是定义在R上的函数，对∈R都有，且当＞0时，＜0，且＝1.

(1)求的值；

(2)求证：为奇函数；

(3)求在[－2,4]上的最值．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝0,f(－2)＝2; (2)证明见解析；（3）f(x)max＝2， f(x)min＝－4.

【解析】

试题本题为抽象函数问题，解决抽象函数的基本方法有两种：一是赋值法，二是“打回原型”，本题第一步采用赋值法，先给x,y赋值0，求出f(0)，再给x,y赋值-1，求出f(--2)；判断函数奇偶性，就是寻求f(-x)与f(x)的关系，给y赋值-x，得出f(-x)=-f(x),判断出函数的奇偶性；再根据函数的奇偶性，得出函数图像的对称性，再利用赋值法判断函数的单调性，根据函数的奇偶性和单调性求出函数的最值.

试题解析：

(1)f(x)的定义域为R，

令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，

∵f(－1)＝1，

∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，

(2)令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(3)设x2>x1，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在R上为减函数．

∴f(2)＝－f(－2)＝－2，

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4，

∵f(x)在[－2,4]上为减函数，

∴f(x)max＝f(－2)＝2，

f(x)min＝f(4)＝－4.