Question

【题目】已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=an2+ an ， n∈N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn﹣bn﹣1=2an（n≥2），求数列{ }的前n项和Tn
（3）若Tn≤λ（n+4）对任意n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=an2+ an，

∴Sn+1=an+12+ an+1，

两式相减得：an+1= ﹣ + （an+1﹣an），

∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣ ）=0，

∵数列{an}的各项都是正数，

∴an+1﹣an= ，

又∵a1= + a1，

∴a1= ，

∴数列{an}是以 为首项、 为公差的等差数列，

∴an= +（n﹣1） =

（2）解：∵an= ，

∴bn﹣bn﹣1=2an=2 =n，

∴b2﹣b1=2，

b3﹣b2=3，

…

bn﹣bn﹣1=n，

累加得：bn﹣b1= ，

又∵b1=1，

∴bn=b1+ =1+ = ，

∴ = =2（ ﹣ ），

∴

（3）解：∵Tn= ，

∴Tn≤λ（n+4），

∴λ≥ = = ，

∵n+ ≥2 =4当且仅当n=2时取等号，

∴当n=2时 有最大值 ，

∴

【解析】（1）通过Sn=an2+ an、Sn+1=an+12+ an+1 ， 作差、分析可得an+1﹣an= ，进而可得结论；（2）通过an= ，可得bn﹣bn﹣1=n，累加即得：bn﹣b1= ，从而可得bn= ，裂项可得 =2（ ﹣ ），并项相加即得结论；（3）通过Tn= 、Tn≤λ（n+4），整理可得λ≥ ，利用基本不等式即得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．