Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，N为AD的中点．
（1）求证：BC⊥平面PNB
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，M是线段PC上一点，且二面角M-BN-D为60°，试确定M的位置．

Answer 1

分析 （1）先证明PN⊥AD，再证明BN⊥AD，即有AD⊥平面PNB，又AD∥BC，从而可证BC⊥平面PNB．
（2）以N为原点，NA为x轴，NB为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出M是线段PC中点时，二面角M-BN-D为60°．

解答 证明：（1）∵PA=AD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，又因为N为AD的中点，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC
∴BC⊥平面PNB．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，BC⊥平面PNB，
∴以N为原点，NA为x轴，NB为y轴，NP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则N（0，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{ND}$=（-1，0，0），
设M（a，b，c），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}$，则（a，b，c-$\sqrt{3}$）=（-2λ，$\sqrt{3}λ$，-$\sqrt{3}λ$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-2λ}\\{b=\sqrt{3}λ}\\{c=\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}\end{array}\right.$，∴M（-2λ，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{NM}$=（-2λ，$\sqrt{3}λ$，$\sqrt{3}-\sqrt{3}λ$），
平面BND的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面BMN的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NM}=-2λx+\sqrt{3}λy+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ND}=-x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\frac{λ-1}{λ}$，1），
∵二面角M-BN-D为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{λ-1}{λ}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，解得$λ=\frac{1}{2}$，
∴M是线段PC中点时，二面角M-BN-D为60°．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，向量法的运用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．