Question

20．过抛物线x=8y²的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=8．

Answer 1

分析 设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|CD|即可求得答案．

解答 解：抛物线x=8y²化为：抛物线y²=$\frac{1}{8}$x，可知2p=$\frac{1}{8}$，
不妨设直线l₁的倾斜角为θ∈[0，$\frac{π}{2}$），则l₂的倾斜角为$\frac{π}{2}$+θ，
过焦点的弦，|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$，|CD|=$\frac{2p}{si{n}^{2}（\frac{π}{2}+θ）}$=$\frac{2p}{co{s}^{2}θ}$
∴$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{2p}$=$\frac{1}{2p}$=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍．