Question

16．在三棱锥P-SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，AB=2，BC=4，CD=2$\sqrt{2}$．平面PSB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及勾股定理可证AD⊥AB，结合已知可证AD⊥PA，同理，AB⊥PA，可证PA⊥平面ABCD，从而可证PA⊥BC．
（Ⅱ）可证BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可证明l∥BC．

解答 证明：（Ⅰ）因为AD∥BC，AB=2，BC=4，CD=2$\sqrt{2}$，
所以AD⊥AB．
而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB．AD?平面ABCD，
所以AD⊥平面PAB．PA?平面PAB，
所以AD⊥PA．…（3分）
同理，AB⊥PA，而AB，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
所以PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC…（7分）
（Ⅱ）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
所以l∥BC．…（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的性质，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．