Question

6．如图，已知△ABC的等腰直角三角形，CA=1，点P是△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分）．当点P在△ABC内运动时，以P为顶点的三个三角形面积的最小值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，再设过点P且平行于直线AB的直线方程为x+y=a，（0＜a＜1），设点P（m，a-m），从而表示出边长进而表示出面积，从而利用二次函数求最小值即可．

解答 解：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则C（0，0），A（1，0），B（0，1）；
设过点P且平行于直线AB的直线方程为x+y=a，（0＜a＜1）
设点P（m，a-m），
则MP=HM=m，PD=ED=a-m，GP=PF=1-a；
故S=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$（a-m）²+$\frac{1}{2}$（1-a）²
=（m-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3}{4}$a²-a+$\frac{1}{2}$
≥$\frac{3}{4}$a²-a+$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{4}$（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{6}$≥$\frac{1}{6}$；
（当a=$\frac{2}{3}$，m=$\frac{1}{3}$时，等号成立）
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．