Question

11．已知a²+c²-ac-3=0，则c+2a的最大值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用判别式法进行解答：令t=c+2a，得c=t-2a．代入a²+c²-ac-3=0，整理得7a²-5ta+t²-3=0，利用根的判别式△=28-t²≥0来求t的最大值即可．

解答 解：设t=c+2a，则c=t-2a．
将其代入a²+c²-ac-3=0，得
a²+（t-2a）²-a（t-2a）-3=0，
整理得：7a²-5ta+t²-3=0，
这个关于a的一元二次方程中，由判别式△≥0得，
△=（-5t）²-4×7（t²-3）≥0，即28-t²≥0，
解得-2$\sqrt{7}$≤t≤2$\sqrt{7}$，
所以 t=c+2a的最大值是2$\sqrt{7}$．
故答案是：2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了基本不等式．本题借助于一元二次方程的根的判别式来求代数式的最值．