Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）
（1）若a₁＞a₂，求实数λ的取值范围；
（2）若λ≠-2，记b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+2}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在实数λ，使得数列{a_n}是递减数列？若存在，求出实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），可得a₂=$\frac{2}{λ+1}$．由于a₁＞a₂，可得$λ＞\frac{2}{λ+1}$，解出即可；
（2）λ≠-2，b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}$=$-\frac{1}{2}{b}_{n}$，利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是递减数列．则?n∈N^*，则a_n+1＜a_n，由（1）可得：当a₁＞a₂时，解得-2＜λ＜-1，或λ＞1．（*）
同理由a₃＜a₂，可得$\frac{λ+1}{λ+3}＜\frac{1}{λ+1}$，解出判定即可．

解答 解：（1）∵a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴${a}_{2}=\frac{2}{{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{λ+1}$．
∵a₁＞a₂，∴$λ＞\frac{2}{λ+1}$，化为（λ+2）（λ+1）（λ-1）＞0，
解得-2＜λ＜-1，或λ＞1．
∴实数λ的取值范围是（-2，-1）∪（1，+∞）；
（2）λ≠-2，b_n+1=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+2}$=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}+1}-1}{\frac{2}{{a}_{n}+1}+2}$=$\frac{-（{a}_{n}-1）}{2（{a}_{n}+2）}$=$-\frac{1}{2}{b}_{n}$，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为${b}_{1}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}+2}$=$\frac{λ-1}{λ+2}$，公比为$-\frac{1}{2}$．
∴${b}_{n}=\frac{λ-1}{λ+2}×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（3）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是递减数列．
则?n∈N^*，则a_n+1＜a_n，
由（1）可得：当a₁＞a₂时，解得-2＜λ＜-1，或λ＞1．（*）
同理由a₃＜a₂，可得$\frac{λ+1}{λ+3}＜\frac{1}{λ+1}$，
化为（λ+3）（λ+2）（λ+1）（λ-1）＜0，
解得-3＜λ＜-2，-1＜λ＜1．与（*）矛盾．
因此不存在λ使得数列{a_n}是递减数列．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、不等式的性质及其解法，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．