Question

2．已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{30}$
• B． 2$\sqrt{30}$
• C． 4$\sqrt{30}$
• D． 6$\sqrt{30}$

Answer 1

分析 设AC=x，在△ABC和△ACD中，由余弦定理可得，15cosD-8cosB=7，再由三角形的面积公式可得8sinB+15sinD=2S，两式两边平方结合两角和的余弦公式和余弦函数的值域，即可求得最大值．

解答 解：设AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得，
x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得，
x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
即有15cosD-8cosB=7，
又四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$×2×4sinB+$\frac{1}{2}$×3×5sinD
=$\frac{1}{2}$（8sinB+15sinD），
即有8sinB+15sinD=2S，
又15cosD-8cosB=7，
两式两边平方可得，64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4s²，
化简可得，-240cos（B+D）=4S²-240，
由于-1≤cos（B+D）＜1，即有S≤2$\sqrt{30}$．
当cos（B+D）=-1即B+D=π时，4S²-240=240，
解得S=2$\sqrt{30}$．
故S的最大值为2$\sqrt{30}$．
故选B．

点评 本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，同时考查两角和的余弦公式的运用和余弦函数的最值的求法，属于中档题．