Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，sin（ωx+$\frac{π}{3}$）），$\overrightarrow{n}$=（2，2sin（ωx-$\frac{π}{6}$））（其中ω为正常数），设f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$-2，且函数f（x）的图象的相邻两个对称中心的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求当$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$时，tanx的值；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，从而得到f（x）=sin（$2ωx+\frac{2π}{3}$），根据已知条件即知f（x）的周期为π，从而求出ω=1．而根据$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得到tan（x+$\frac{π}{3}$）=1，而根据两角和的正切公式即可求出tanx；
（2）求出f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$），所以由x的范围求出2x$+\frac{2π}{3}$的范围，从而根据正弦函数图象即可求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2+2sin（ωx+\frac{π}{3}）sin（ωx-\frac{π}{6}）$=2+sin（2ωx$+\frac{2π}{3}$）；
∴f（x）=sin（$2ωx+\frac{2π}{3}$）；
函数f（x）的对称中心便是f（x）和x轴的交点；
∴函数f（x）的图象的相邻两个对称中心的距离便是半个周期；
∴f（x）的周期为π，ω＞0；
∴$\frac{2π}{2ω}=π$；
∴ω=1；
∴$\overrightarrow{m}=（1，sin（x+\frac{π}{3}））$，$\overrightarrow{n}=（2，2sin（x-\frac{π}{6}））$；
$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴$2sin（x-\frac{π}{6}）=2sin（x+\frac{π}{3}）$；
∴$cos（x+\frac{π}{3}）=sin（x+\frac{π}{3}）$；
∴$tan（x+\frac{π}{3}）=\frac{tanx+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanx}=1$；
∴解得tanx=$\sqrt{3}-2$；
（2）f（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$；
∴$2x+\frac{2π}{3}∈[\frac{2π}{3}，\frac{5π}{3}]$；
∴根据y=sinx的图象即知f（x）的最小值为-1．

点评 考查三角函数的诱导公式，二倍角的正弦公式，数量积的坐标运算，两向量平行时坐标的关系，以及两角和的正切公式，对正弦函数图象的运用．