Question

8．若sinαcosα＜0，sinαtanα＜0，化简$\sqrt{\frac{1-sin\frac{α}{2}}{1+sin\frac{α}{2}}}$+$\sqrt{\frac{1+sin\frac{α}{2}}{1-sin\frac{α}{2}}}$．

Answer 1

分析 由已知求出α的范围，进一步得到$\frac{α}{2}$的范围，利用同角三角函数的基本关系式化简，分类去绝对值后得答案．

解答 解：∵sinαcosα＜0，∴α为第二或第四象限角，
∵sinαtanα＜0，∴α为第二或第三象限角，
则α为第二象限角，∴$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜π+2kπ$，k∈Z，
则$\frac{π}{4}+kπ＜\frac{α}{2}＜\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
∴$\frac{α}{2}$为第一或第三象限角，
则$\sqrt{\frac{1-sin\frac{α}{2}}{1+sin\frac{α}{2}}}$+$\sqrt{\frac{1+sin\frac{α}{2}}{1-sin\frac{α}{2}}}$=$\sqrt{\frac{（1-sin\frac{α}{2}）^{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}+\sqrt{\frac{（1+sin\frac{α}{2}）^{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}}}$
=$\frac{1-sin\frac{α}{2}}{|cos\frac{α}{2}|}+\frac{1+sin\frac{α}{2}}{|cos\frac{α}{2}|}$．
当$\frac{α}{2}$为第一象限角时，原式=$\frac{1-sin\frac{α}{2}+1+sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}=\frac{2}{cos\frac{α}{2}}$；
当$\frac{α}{2}$为第三象限角时，原式=$\frac{1-sin\frac{α}{2}+1+sin\frac{α}{2}}{-cos\frac{α}{2}}=-\frac{2}{cos\frac{α}{2}}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值，关键是同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．