Question

3．设公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}与公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}有如下关系：a₁=b₁=2，a₃=b₃，a_b3=5．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记A={a₁，a₂，a₃，…，a₂₀}，B={b₁，b₂，b₃，…，b₂₀}，C=A∪B，求集合C中的各元素之和．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由a_n=n+1，${b_n}={2^{\frac{n+1}{2}}}$．可得数列{a_n}和{b_n}的相同项为：2，4，8，16．设等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．由C=A∪B，可得集合C中的各元素之和=S₂₀+T₂₀-（2+4+8+16）．

解答 解：（I）∵公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}与公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=2，a₃=b₃，a_b3=5．
∴$\left\{\begin{array}{l}2+2d=2{q^2}\\ 2+（{b_3}-1）d=5\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+d={q^2}\\ 2+（2{q^2}-1）=5\end{array}\right.$，
∴2d²+d-3=0得d=1或$d=-\frac{3}{2}$．
又q²=1+d＞0，
∴d=1⇒$q=\sqrt{2}$，
∴a_n=n+1，${b_n}={2^{\frac{n+1}{2}}}$．
（Ⅱ）由a_n=n+1，${b_n}={2^{\frac{n+1}{2}}}$．
可得数列{a_n}和{b_n}的相同项为：2，4，8，16．
设等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．
∵C=A∪B，
∴集合C中的各元素之和=S₂₀+T₂₀-（2+4+8+16）
=$\frac{20（2+21）}{2}$+$\frac{2[（\sqrt{2}）^{20}-1]}{\sqrt{2}-1}$-30
=230+$2（\sqrt{2}+1）$（2¹⁰-1）-30
=200+2046$（\sqrt{2}+1）$
=2046$\sqrt{2}$+2246．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．