Question

11．求下列函数的值域：
（1）y=x²+2x，x∈[0，3]；
（2）y=$\frac{x-3}{x+1}$；
（3）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（4）y=log₃x+log_x3-1．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的对称轴判断该函数在[0，3]上的单调性，根据单调性求该函数最值，从而得出值域；
（2）分离常数法将该函数变成y=1$-\frac{4}{x+1}$，通过解析式即可看出y≠1，从而得出该函数值域；
（3）换元，令$\sqrt{1-2x}=t，x=\frac{1-{t}^{2}}{2}，t≥0$，从而可得到关于t的二次函数，判断该二次函数在[0，+∞）上的单调性，根据单调性即可得到原函数的值域；
（4）利用换底公式将原函数变成y=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$，从而由基本不等式即可得到该函数的值域．

解答 解：（1）y=x²+2x的对称轴为x=-1，所以：
该函数在[0，3]上单调递增；
∴该函数在[0，3]上的最大值为15，最小值为0；
∴该函数的值域为[0，15]；
（2）$y=\frac{x-3}{x+1}=\frac{x+1-4}{x+1}=1-\frac{4}{x+1}$；
$\frac{4}{x+1}≠0$；
∴$1-\frac{4}{x+1}≠1$；
∴该函数的值域为{y|y≠1}；
（3）y=$x-\sqrt{1-2x}$；
∴令$\sqrt{1-2x}=t，t≥0$；
∴$x=\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴原函数变成$y=-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{1}{2}$，该二次函数的对称轴为t=-1；
∴该函数在[0，+∞）上单调递减；
∴$y≤\frac{1}{2}$；
∴原函数的值域为（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（4）y=log₃x+log_x3-1=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$；
∴若log₃x＞0，则$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≥2$，当log₃x=1时取“=”；
∴此时y≥1；
若log₃x＜0，则$-lo{g}_{3}x+\frac{1}{-lo{g}_{3}x}≥2$，当log₃x=-1时取“=”；
∴$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≤-2$；
∴此时y≤-3；
∴得到原函数的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞）．

点评 考查二次函数的单调性，根据单调性求函数的最值，求函数的值域，分离常数法的运用，换元求带根号的函数值域的方法，以及基本不等式的运用，注意基本不等式的使用条件．