Question

19．当x＞0 时，求函数y=$\frac{（20+x）^{2}}{{x}^{2}+225}$的最大值．

Answer 1

分析 先根据导数判断函数的单调性，继而求出函数的最值．

解答 解：f′（x）=[$\frac{（20+x）^{2}}{{x}^{2}+225}$]′=$\frac{（40+2x）（{x}^{2}+225）-（20+x）^{2}（2x）}{（{x}^{2}+225）^{2}}$=$\frac{-40{x}^{2}-350x+9000}{（{x}^{2}+225）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{45}{4}$，
当f′（x）＞0，即0＜x＜$\frac{45}{4}$，函数f（x）为增函数，
当f′（x）＜0，即x＞$\frac{45}{4}$，函数f（x）为减函数，
所以当x=$\frac{45}{4}$时，函数f（x）_max=f（$\frac{45}{4}$）=$\frac{25}{9}$，
∴函数y=$\frac{（20+x）^{2}}{{x}^{2}+225}$的最大值为$\frac{25}{9}$．

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系，属于基础题．