Question

9．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，R是实数集，如果?x₁∈R，?x₂∈R，?x∈R，f（x₁）＜f（x）≤f（x₂），则|x₂-x₁|的最小值为（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式和两角和的正弦公式，结合正弦函数的最值和周期性，即可得到所求值．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（2x+$\frac{π}{3}$），
即有f（x）的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
如果?x₁∈R，?x₂∈R，?x∈R，f（x₁）＜f（x）≤f（x₂），
则$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1＜f（x）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$，
即$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，同时考查正弦函数的周期性，属于中档题．