Question

4．已知（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+x$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，所有奇数项系数的和为64，问展开式中是否存在整式项？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由题意可得 2ⁿ=64+64=128，故n=7，求出展开式通项公式，可得整式项．

解答 解：∵已知二项式（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+x$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中奇数项系数和为64，
由于奇数项二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，故偶数项二项式系数和也为64，
∴2ⁿ=64+64=128，∴n=7．
故二项式（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+x$\sqrt{x}$）⁷的展开式中通项公式为T_r+1=${C}_{7}^{r}{x}^{\frac{11r-14}{6}}$，
r=4，整式项为C₇⁴x⁵=35x⁵．

点评 本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中整式项，属于中档题．