Question

14．设f（x）=x²+2cosx，x∈R，且f（α）＞f（β），则下列结论中成立的是（　　）

• A． α＞β
• B． α²＜β²
• C． α＜β
• D． α²＞β²

Answer 1

分析 由f（x）=x²+2cosx求导可得f′（x）=2x-2sinx，二阶求导可得f″（x）=2-2cosx≥0，从而可判断f′（x）=2x-2sinx在R上单调递增，从而可判断函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增；
结合f（x）为偶函数可化f（α）＞f（β）为f（|α|）＞f（|β|）从而可得|α|＞|β|，从而可得α²＞β²．

解答 解：∵f（x）=x²+2cosx，
∴f′（x）=2x-2sinx，
∴f″（x）=2-2cosx≥0，
∴f′（x）=2x-2sinx在R上单调递增，
又∵f′（0）=0，
∴当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
又∵f（x）为偶函数，f（α）＞f（β），
∴f（|α|）＞f（|β|），
∴|α|＞|β|，
∴α²＞β²；
故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质应用，属于中档题．