Question

19．设f（x）=2sinx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-sin（x+$\frac{3π}{2}$）•sinx-$\sqrt{3}$cos²x+m在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为3．求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 运用诱导公式和两角差的余弦公式和二倍角公式，结合正弦函数的图象和性质即可求得m的值，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求增区间．

解答 解：f（x）=2sinx•cos（x-$\frac{π}{3}$）-sin（x+$\frac{3π}{2}$）•sinx-$\sqrt{3}$cos²x+m
=2sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+cosxsinx-$\sqrt{3}$cos²x+m
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+m
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+m=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+m，
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
当sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1即x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最大值，且为2+m，
由题意可得2+m=3，解得m=1，
即有f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和两角差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，属于中档题．