Question

7．在锐角△ABC中，已知a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求角C与边c的值．

Answer 1

分析 由已知可解得a，b，从而可求ab，由三角形面积公式可求得sinC，结合角的范围可求C，由余弦定理即可解得c的值．

解答 解：∵a+b=2$\sqrt{3}$，ab=2，
∴可得：（2$\sqrt{3}$-b）b=2，整理可解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}+1，a=\sqrt{3}-1}\\{b=\sqrt{3}-1，a=\sqrt{3}+1}\end{array}\right.$，可得ab=2，
∵△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×sinC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由C为锐角，可得C=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=12-6=6，可得c=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．