Question

17．已知c=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$，直线$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a、b为非零实数）与圆x²+y²=c，（c＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的最小值为1．

Answer 1

分析 先求出c，再由直线$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$．圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=2的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：c=$\frac{2}{π}\int_{-1}^1{\sqrt{1-{x^2}}dx}$=$\frac{2}{π}×\frac{π}{2}$=1
∵直线$\sqrt{2}$ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$．
∴圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=2的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为2a²+b²=8．
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$）（2a²+b²）=$\frac{1}{8}$（2+2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥$\frac{1}{8}$（4+4）=1，
当且仅当b²=2a²=1取等号．
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}$的最小值为1．
故答案为：1

点评 本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题