Question

9．一场小型晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排除一个节目单．
（1）3个舞蹈节目不拍在开始和结尾，有多少种不同的排法？
（2）前4个节目要有舞蹈节目，有多少中不同的排法？（以上两题只列算式）

Answer 1

分析 （1）3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有A₆³=120种方法，其余5个演唱节目，有A₅⁵=120种方法，利用乘法原理可得结论；
（2）先不考虑限制条件，8个节目全排列有A₈⁸种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．

解答 解：（1）3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有A₆³=120种方法，其余5个演唱节目，有A₅⁵=120种方法，
共有120×120=14400种方法；
（2）∵8个节目全排列有A₈⁸=40320种方法，
若前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A₅⁴A₄⁴，
∴前4个节目中要有舞蹈有A₈⁸-A₅⁴A₄⁴=37440．

点评 本题是一个排列组合典型，考查学生分析解决问题的能力，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题．