Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=p，a₂=p+1，a_n+2-2a_n+1+a_n=n-2（其中n∈N^*），b_n=$\frac{1}{{a}_{n+5}-{a}_{n+4}}$，则数列{b_n}的前10项和为$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，累加后求得a_n+1-a_n的通项公式，进一步得到数列{b_n}的通项公式，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前10项和．

解答 解：由a_n+2-2a_n+1+a_n=n-2，得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=n-2，
设c_n=a_n+1-a_n，于是c_n+1-c_n=n-2，
又c₁=a₂-a₁=p+1-p=1，
∴c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=（n-3）+（n-4）+（n-5）+…+（-1）+1=$\frac{（n-4）（n-1）}{2}$+1=$\frac{（n-2）（n-3）}{2}$，
∴c_n+4=a_n+5-a_n+4=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
则b_n=$\frac{1}{{a}_{n+5}-{a}_{n+4}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}=2（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前10项和为$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}）$=$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{12}）=\frac{5}{6}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．