Question

14．证明：抛物线y=4-x²与直线y=3x所围成的图形的面积被直线x=-$\frac{3}{2}$均分为面积相等的两部分．

Answer 1

分析 由抛物线y=4-x²与直线y=3x可得x=-4或1，利用定积分求面积，即可证明结论．

解答 证明：由抛物线y=4-x²与直线y=3x可得x=-4或1，则
因为${∫}_{-4}^{-\frac{3}{2}}$（4-x²-3x）dx=（4x-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²）${|}_{-4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{125}{12}$，
${∫}_{-4}^{1}$（4-x²-3x）dx=（4x-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²）${|}_{-4}^{1}$=$\frac{125}{6}$，
所以抛物线y=4-x²与直线y=3x所围成的图形的面积被直线x=-$\frac{3}{2}$均分为面积相等的两部分．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．