Question

6．求证：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用半角公式和两角和的正弦余弦公式，化简sin²α+cos²（α+30°）+sinαcos（α+30°），求得最终结果．

解答 证明：原式左边=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（60°-2α）}{2}$-sinα（cos30° cosα+sin30°sinα）．（3分）
=1-$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1}{2}$（cos60° cos2α+sin2αsin60°）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin2α…（6分）
=1-$\frac{1}{2}$cos2α+$\frac{1}{4}$cos2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α-$\frac{1}{2}$×$\frac{1-cos2α}{2}$…．（9分）
=1-$\frac{1}{4}$cos2α-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$cos2α…（11分）
=$\frac{3}{4}$=右边，得证．…（12分）

点评 本题考查了两角和与差的正弦公式以及半角公式，应熟练掌握，属于基本知识的考查．