Question

17．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数y=g（x）的图象和y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，求g（x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式即可得解．
（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+2cos²x-1
=sin2x+1+cos2x-1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴由周期公式可得：函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵函数y=g（x）的图象和y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=$\frac{π}{3}$的对称点（$\frac{2π}{3}$-x，g（x））．
由题设条件，点（$\frac{2π}{3}$-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g（x）=f（$\frac{2π}{3}$-x）=$\sqrt{2}$sin[2（$\frac{2π}{3}$-x）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{7π}{12}$）
当x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]时，2x-$\frac{7π}{12}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]时，
因此y=g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{2π}{3}$]上的最大值为gmax=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\sqrt{2}$．
最大值为gmin=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了利用三角函数恒等变换化简三角函数、利用轴对称性求函数的解析式、利用整体角处理的思想求出最值等知识的应用，属于中档题．