Question

7．已知函数f（x）=cos²x+sinx．
（1）求函数f（x）的值域（x∈R）；
（2）f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是不是单调函数？若不是，说明理由，并写出单调区间；若是，指出它的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，再利用二次函数的性质、正弦函数的值域，求得f（x）的值域．
（2）利用复合函数的单调性可得，在[0，$\frac{π}{6}$]上，f（x）是增函数；在（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上，f（x）是减函数，综合可得结论．

解答 解：（1）函数f（x）=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，
故当sinx=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为$\frac{5}{4}$；当sinx=-1时，函数取得最小值为-1，
故函数的值域为[-1，$\frac{5}{4}$]．
（2）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，sinx单调递增且sinx∈[0，1]，$\frac{1}{2}$∈[0，1]，
当x∈[0，$\frac{π}{6}$]，sinx∈[0，$\frac{1}{2}$]，函数t=sinx是增函数，函数g（t）=-${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$是增函数，
故f（x）是增函数．
当x∈（ $\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，sinx∈（$\frac{1}{2}$，1]，函数t=sinx是增函数，函数g（t）=-${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$是减函数，
故f（x）是减函数．
综上可得，f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上不是单调函数．

点评 本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题．