Question

12．如图，点P是正方形ABCD所在平面外一点，M为PD的中点．
（1）试在PC上找一点N，使得MN∥AB，并说明理由；
（2）若点P在平面ABCD上的射影是点D，PD=AB=a（a是正常数），求异面直线MC与AB所成角的大小；
（3）若PA=AB=a（a是正常数），试判断P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在PC上取中点N，M为PD的中点．则MN∥DC，又DC∥AB，即可判定MN∥AB．
（2）由AB∥DC，可得∠MCD即为所求，可证PD⊥DC，△MCD中，可得tan∠MCD的值，即可求得异面直线MC与AB所成角的大小．
（3）用反证法，假设P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上，则PA为Rt△PCA的斜边，可得PA＞AC，由已知可解得AC=$\sqrt{2}a$＞a=PA，从而推得矛盾，证明P点在底面ABCD中的射影不可能恰好落在点C上．

解答 解：（1）在PC上取中点N，M为PD的中点．则MN∥DC，
又ABCD是正方形，可得DC∥AB，
从而可得：MN∥AB．
（2）∵AB∥DC，
∴∠MCD即为所求，
若点P在平面ABCD上的射影是点D，PD=AB=a（a是正常数），
故有PD⊥DC，
∴由△MCD中，tan∠MCD=$\frac{MD}{CD}$=$\frac{\frac{a}{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得：∠MCD=arctan$\frac{1}{2}$．
（3）假设P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上，则PC⊥平面ABCD，既有PA为Rt△PCA的斜边，故PA＞AC，
∵PA=AB=a（a是正常数），又ABCD是正方形，
∴可解得：AC=$\sqrt{2}a$＞a=PA，故矛盾．
所以P点在底面ABCD中的射影不可能恰好落在点C上．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的性质，异面直线及其所成的角，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．