Question

20．如图所示，已知O是△ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²=$\overrightarrow{OC}$²+$\overrightarrow{AB}$²，求证：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 利用向量的减法，化简，即可证明结论．

解答 证明：∵$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{CA}$²，
∴$\overrightarrow{OA}$²+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）²=$\overrightarrow{OB}$²+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）²，
∴$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OC}$²-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$²=$\overrightarrow{OB}$²+$\overrightarrow{OC}$²-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OA}$²，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，
同理可证明$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查学生的计算能力，正确运用向量的减法是关键．