Question

9．设f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a²+2b²+c²=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；
（Ⅱ）由a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²），运用重要不等式，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）当x≤-1时，f（x）=3+x≤2；
当-1＜x＜1时，f（x）=-1-3x＜2；
当x≥1时，f（x）=-x-3≤-4．
故当x=-1时，f（x）取得最大值m=2．
（Ⅱ）a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²）≥2ab+2bc=2（ab+bc），
当且仅当a=b=c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立．
此时，ab+bc取得最大值$\frac{m}{2}$=1．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．