Question

18．平行四边形ABCD中，点P在边AB上（不含端点），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$．若|$\overrightarrow{AP}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，∠BAD=60°且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$=-3．则λ=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 将$\overrightarrow{CP}$用已知$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AD}$表示，代入计算即可．

解答 解：根据题意，可得$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}$，
又∵四边形ABCD为平行四边形，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}$=$-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AP}$=$（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}$，
所以-3=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AP}•[（1-\frac{1}{λ}）\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AD}]$=$（1-\frac{1}{λ}）{\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$，
由于|$\overrightarrow{AP}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，∠BAD=60°，
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$=$|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AD}|cos60°$=$2×1×\frac{1}{2}$=1，
从而-3=$（1-\frac{1}{λ}）|\overrightarrow{AP}{|}^{2}-1$=$4（1-\frac{1}{λ}）-1$，解得λ=$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，向量的加、减法运算，属于中档题．