Question

3．已知函数y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$（x＞2，a＞6）的最小值是5，求a的值．

Answer 1

分析 x＞2，a＞6，变形函数y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$=x-2+$\frac{a-6}{x-2}$-1，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞2，a＞6，
∴函数y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$=$\frac{{x}^{2}-2x-3（x-2）+a-6}{x-2}$=x-2+$\frac{a-6}{x-2}$-1≥$2\sqrt{（x-2）•\frac{a-6}{x-2}}$-1=2$\sqrt{a-6}$-1，
当且仅当x-2=$\sqrt{a-6}$时，函数y=$\frac{{x}^{2}-5x+a}{x-2}$（x＞2，a＞6）的最小值2$\sqrt{a-6}$-1，
∴2$\sqrt{a-6}$-1=5，解得a=15．此时x=5．
∴a=15．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于基础题．