Question

15．如图所示，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，斜边OA₁，A₁A₂…A_n-1A_n，都在x轴上，则y₁+y₂+…y₁₀=$2\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 由题意可得：直线OP₁方程为y=x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得P₁（2，2），A₁（4，0），同理可得：${P}_{2}（2+2\sqrt{2}，2\sqrt{2}-2）$，A₂$（4\sqrt{2}，0）$，…，${y}_{n}=2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}$．
即可得出．

解答 解：∵P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，
∴直线OP₁方程为y=x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得x=y=2，
∴P₁（2，2），A₁（4，0），
同理可得：${P}_{2}（2+2\sqrt{2}，2\sqrt{2}-2）$，A₂$（4\sqrt{2}，0）$，…，
同理可得${y}_{n}=2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}$．
∴y₁+y₂+…+y_n
=2+$（2\sqrt{2}-2）$+$（2\sqrt{3}-2\sqrt{2}）$+…+$（2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}）$
=2$\sqrt{n}$．
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了“累加求和”方法、直线与曲线的交点、等腰直角三角形的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．